PROGRESSÃO ARITMÉTICA

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA EM QUE CADA TERMO, A PARTIR DO SEGUNDO, É IGUAL À SOMA DO TERMO ANTERIOR COM UMA CONSTANTE. ESSA CONSTANTE É CHAMADA RAZÃO DA P.A. E É INDICADA POR r.

EX) (-6, -1, 4 9 14, ...) é uma P.A. de razão r=5.

       (150, 140, 130, 120, ...) é uma P.A. de razão r= -10.

TERMO GERAL DA P.A.

a_n = a₁ + (n – 1) . r

Ex1) CALCULE O VIGÉSIMO TERMO DA P.A. ( 26, 31, 36, 41, 46, ...)

a₂₀ = a₁+ 19 . r

a₂₀ = 26 + 19 . 5

R= 121

Ex2) Determine a P.A. cujo sétimo termo vale 1 e cujo décimo termo vale 16.

a₁₀ = a₇ + 3.r

16 = 1 + 3.r

15 = 3.r

15/3 = r

5 = r

a₇ = a₁ + 6.r

1 = a₁ + 6 . 5

1 – 30 = a₁

- 29 = a₁

R: { -29, -24, -19, -14, -9, -4, 1, ...}

Ex3) Preparando-se para uma competição, um atleta corre sempre 400 metros a mais que a distância percorrida no dia anterior. Sabe-se que no 6º dia ele percorreu 3,2 km. Qual é a distância percorrida pelo atleta no 2º dia.

a₆ = a2 + 4.r

3200m = a₂ + 4 . 400m

3200m = a₂ + 1600m

3200m – 1600m = a₂

1600m = a₂

Soma dos n termos de uma PA

Considere a PA finita:  (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19). Observe:

5 + 19 = 24 → soma dos extremos

7 + 17 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

9 + 15 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

11 + 13 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

Baseada nessa ideia, existe a seguinte propriedade:

Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

EXERCÍCIOS

1. DADA A P.A. (28, 36, 44, 52, ...) DETERMINE SEU:

a) oitavo termo;

b) décimo nono termo.

2. Tales, depois de terminar o semestre com êxito, resolveu viajar para a Europa. O portão de Brandeburgo, em Berlim, possui cinco entradas, cada uma com 11 metros de comprimento. Tales passou uma vez pela primeira porta, duas vezes pela segunda e assim sucessivamente, até passar cinco vezes pela quinta. Então ele percorreu ____ metros.

      (A)  55

      (B)  66

      (C) 165

      (D) 275

      (E) 330

3. Qual a razão da PA de sequência (-18,-11,-4,...)?

       (A)  4

       (B) -7

       (C) -3

       (D) -5

       (E)  7

4. A desvalorização de um carro que hoje custa R$30.000,00 é de R$ 1.300,00 a cada ano de uso. Desta maneira, qual será seu preço após quatro anos de uso?

        (A) R$24.800,00

        (B) R$4.0000,00

        (C) R$14.000,00

        (D) R$46.320,00

        (E) R$1.000,00

5. Um técnico recebeu a tarefa de organizar todos os documentos de um departamento em apenas uma semana. Se ele começou no domingo organizando 15, na segunda-feira 23 e assim por diante até terminar, quantos documentos ele organizou no total?

         (A) 32

         (B) 237

         (C) 220

         (D) 273

         (E)   63

6. Que número ocupa a 700ª posição na PA seguinte?

(3, 7, 11, …)

         (A) 2000

         (B) 2700

         (C) 2799

         (D) 3000

         (E) 3099

7. Quantos múltiplos de 4 com 4 algarismos existem?

         (A) 2000

         (B) 250

         (C) 2500

         (D) 2200

         (E) 2250

8. Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

         (A) 9

         (B) 45

         (C) 64

         (D) 81

         (E) 285

9. Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a:

         (A) 5100

         (B) 5200

         (C) 5300

         (D) 5400

         (E) 5500

10. Tales ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura:

Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o padrão, afirmar que ele possuía:

        (A) mais de 300 bolitas.

        (B) pelo menos 230 bolitas.

        (C) menos de 220 bolitas.

        (D) exatamente 300 bolitas.

        (E) exatamente 41 bolitas